ABC-formule rekenmachine

Over de abc-formule rekenmachine

Een kwadratische vergelijking heeft de vorm ax² + bx + c = 0, waarbij a niet nul is. De oplossingen (ook wortels of nulpunten genoemd) komen uit de abc-formule:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Vul a, b en c in. De rekenmachine werkt de formule stap voor stap uit: de discriminant, de wortel en dan beide wortels. Ze schrijft de wortels als exacte breuken of wortels als dat kan (x = 1 ± √2), vindt complexe wortels als er geen reële zijn, en tekent de parabool met zijn wortels en top.

Functies

• Elke stap — de discriminant, de wortel en beide wortels, met jouw getallen
• Exacte vorm — breuken (1/2), vereenvoudigde wortels (1 ± √2) en complexe wortels (−1 ± 2i)
• Reëel of complex — de discriminant wijst het aan, en de rekenmachine zegt het erbij
• Ontbonden vorm — zoals (2x − 1)(x + 3), als de wortels breuken zijn
• Top en topvorm — het keerpunt, de symmetrie-as en y = a(x − h)² + k
• Een grafiek — de parabool met wortels, top en symmetrie-as
• Decimalen en breuken zijn welkom — typ 0,5, 1/2 of −3
• Op je apparaat bewaard — je vergelijking staat er de volgende keer weer

Wat de discriminant je vertelt

De discriminant is D = b² − 4ac, het deel onder het wortelteken.

Als D een kwadraat van een geheel getal is (0, 1, 4, 9, 16 …) en a, b, c hele getallen zijn, dan zijn de wortels breuken en kan de vergelijking ontbonden worden.

Voorbeelden

Twee reële wortels: 2x² + 5x − 3 = 0. a = 2, b = 5, c = −3.

D = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49. √49 = 7.

x = (−5 ± 7) / 4, dus x₁ = 2/4 = 1/2 en x₂ = −12/4 = −3. Ontbonden: (2x − 1)(x + 3).

Wortels met een wortelteken: x² − 2x − 1 = 0.

D = 4 + 4 = 8, en √8 = 2√2. x = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2, dus x₁ ≈ 2,4142 en x₂ ≈ −0,4142.

Eén dubbele wortel: x² − 4x + 4 = 0.

D = 16 − 16 = 0, dus x = 4 / 2 = 2. Ontbonden: (x − 2)².

Complexe wortels: x² + 2x + 5 = 0.

D = 4 − 20 = −16, en √(−16) = 4i. x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i. De parabool blijft boven de x-as; de top is (−1, 4).

De top

De top is het keerpunt van de parabool: h = −b / (2a) en k = c − b² / (4a). Voor 2x² + 5x − 3 is de top (−5/4, −49/8) = (−1,25; −6,125). De lijn x = h is de symmetrie-as: de twee wortels liggen aan beide kanten op dezelfde afstand ervan.

Veelgestelde vragen

Wat is de abc-formule?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Ze lost elke vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 op, zolang a niet 0 is.

Wat als a = 0?

Dan is het geen kwadratische vergelijking. De vergelijking is bx + c = 0, een rechte lijn, en x = −c ÷ b. De rekenmachine toont dat antwoord en zegt het erbij.

Wat zijn complexe wortels?

Als de discriminant negatief is, is er geen reëel getal waarvan het kwadraat negatief is, dus de wortels gebruiken i, waarbij i² = −1. Ze komen altijd in paren, zoals −1 + 2i en −1 − 2i.

Kan ik breuken of decimalen invullen?

Ja. Typ 1/2, 0,5 of −3. Decimalen worden intern omgezet in hele getallen (0,5x² − 1,5x + 1 wordt x² − 3x + 2), zodat de exacte vorm blijft werken.

Waarom is er geen ontbonden vorm?

De ontbonden vorm met hele getallen bestaat alleen als de wortels breuken zijn. x² − 2x − 1 heeft wortels 1 ± √2, dus ontbinden met hele getallen lukt niet.

Gerelateerde tools

• Grafische rekenmachine — teken elke functie en vind de nulpunten
• Breukenrekenmachine — breuken optellen, aftrekken en vereenvoudigen
• Stelling van Pythagoras rekenmachine — de derde zijde van een rechthoekige driehoek
• GGD en KGV rekenmachine — gemeenschappelijke delers, handig om wortels te vereenvoudigen
• Wetenschappelijke rekenmachine — machten en wortels

Zo gebruik je het

• Vul a, b en c in — de vergelijking verschijnt boven de vakjes
• Gebruik een minteken voor negatieve getallen en 0 voor een ontbrekende term
• Lees de wortels af in het resultaatvak, met de exacte vorm, de discriminant en de top
• Volg de stappen onder het formulier en bekijk de grafiek
• Of tik op een voorbeeld om elk soort antwoord te zien