一元二次方程求根公式计算器

关于一元二次方程求根公式计算器

一元二次方程的形式是 ax² + bx + c = 0，其中 a 不为 0。它的解（也叫根）由求根公式得出：

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

输入 a、b 和 c。计算器会一步一步演算公式：先算判别式，再算平方根，最后得出两个根。能写成精确分数或根式时就这样表示（x = 1 ± √2）；没有实根时求出复根；并画出带根和顶点的抛物线。

功能

• 每一步都有 — 判别式、平方根和两个根，用你的数字演算
• 精确形式 — 分数 (1/2)、化简后的根式 (1 ± √2) 和复根 (−1 ± 2i)
• 实根还是复根 — 由判别式决定，计算器会明确告诉你
• 因式分解形式 — 当根是分数时，如 (2x − 1)(x + 3)
• 顶点和顶点式 — 顶点、对称轴和 y = a(x − h)² + k
• 函数图像 — 带根、顶点和对称轴的抛物线
• 小数和分数都可以 — 可输入 0.5、1/2 或 −3
• 保存在你的设备上 — 下次打开，你的方程还在

判别式告诉你什么

判别式是 D = b² − 4ac，也就是平方根里面的部分。

如果 D 是完全平方数（0、1、4、9、16 …），而且 a、b、c 都是整数，那么根是分数，方程可以因式分解。

计算示例

两个实根：2x² + 5x − 3 = 0。 a = 2，b = 5，c = −3。

D = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49。√49 = 7。

x = (−5 ± 7) / 4，所以 x₁ = 2/4 = 1/2，x₂ = −12/4 = −3。因式分解：(2x − 1)(x + 3)。

带根号的根：x² − 2x − 1 = 0。

D = 4 + 4 = 8，√8 = 2√2。x = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2，所以 x₁ ≈ 2.4142，x₂ ≈ −0.4142。

一个二重根：x² − 4x + 4 = 0。

D = 16 − 16 = 0，所以 x = 4 / 2 = 2。因式分解：(x − 2)²。

复根：x² + 2x + 5 = 0。

D = 4 − 20 = −16，√(−16) = 4i。x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i。抛物线始终在 x 轴上方，顶点是 (−1, 4)。

顶点

顶点是抛物线的转折点：h = −b / (2a)，k = c − b² / (4a)。对于 2x² + 5x − 3，顶点是 (−5/4, −49/8) = (−1.25, −6.125)。直线 x = h 就是对称轴：两个根分别位于它两侧，距离相等。

常见问题

什么是求根公式？

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。只要 a 不为 0，它就能解所有形如 ax² + bx + c = 0 的方程。

如果 a = 0 呢？

那就不是二次方程了。方程变成 bx + c = 0，是一条直线，x = −c ÷ b。计算器会给出这个答案并提示你。

什么是复根？

判别式为负时，没有平方后是负数的实数，所以根要用到 i，其中 i² = −1。复根总是成对出现，例如 −1 + 2i 和 −1 − 2i。

可以输入分数或小数吗？

可以。输入 1/2、0.5 或 −3 都行。小数在内部会化成整数（0.5x² − 1.5x + 1 变成 x² − 3x + 2），所以精确形式照样可用。

为什么没有因式分解形式？

只有当根是分数时，才存在整数范围内的因式分解。x² − 2x − 1 的根是 1 ± √2，所以不能用整数分解。

相关工具

• 图形计算器 — 绘制任意函数并求它的根
• 分数计算器 — 分数的加法、减法和约分
• 勾股定理计算器 — 求直角三角形的第三条边
• 最大公约数和最小公倍数计算器 — 公因数，可用来化简根式
• 科学计算器 — 乘方和平方根

使用方法

• 输入 a、b 和 c — 方程会显示在输入框上方
• 负数用减号表示，缺少的项输入 0
• 在结果框中查看根，以及精确形式、判别式和顶点
• 查看表单下方的步骤和图像
• 也可以点一个示例，看看每种类型的答案