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Sobre a calculadora de equação do 2º grau
Uma equação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. As soluções (também chamadas de raízes) vêm da fórmula quadrática, a fórmula de Bhaskara:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Digite a, b e c. A calculadora resolve a fórmula passo a passo: o discriminante, a raiz quadrada e depois as duas raízes. Ela escreve as raízes como frações ou raízes exatas quando dá (x = 1 ± √2), acha raízes complexas quando não há reais e desenha a parábola com suas raízes e o vértice.
Recursos
- Cada passo — o discriminante, a raiz quadrada e as duas raízes, com os seus números
- Forma exata — frações (1/2), raízes simplificadas (1 ± √2) e raízes complexas (−1 ± 2i)
- Reais ou complexas — o discriminante mostra qual é, e a calculadora avisa
- Forma fatorada — como (2x − 1)(x + 3), quando as raízes são frações
- Vértice e forma canônica — o ponto de virada, o eixo de simetria e y = a(x − h)² + k
- Um gráfico — a parábola com suas raízes, o vértice e o eixo de simetria
- Decimais e frações são bem-vindos — digite 0,5, 1/2 ou −3
- Salvo no seu aparelho — sua equação continua lá na próxima vez
O que o discriminante diz
O discriminante é D = b² − 4ac, a parte dentro da raiz quadrada.
| D | Raízes | O gráfico |
|---|---|---|
| D > 0 | duas raízes reais diferentes | cruza o eixo x duas vezes |
| D = 0 | uma raiz dupla | toca o eixo x uma vez |
| D < 0 | nenhuma raiz real, duas raízes complexas | não chega ao eixo x |
Se D é um quadrado perfeito (0, 1, 4, 9, 16 …) e a, b, c são números inteiros, as raízes são frações e a equação pode ser fatorada.
Exemplos
Duas raízes reais: 2x² + 5x − 3 = 0. a = 2, b = 5, c = −3.
D = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49. √49 = 7.
x = (−5 ± 7) / 4, então x₁ = 2/4 = 1/2 e x₂ = −12/4 = −3. Fatorada: (2x − 1)(x + 3).
Raízes com raiz quadrada: x² − 2x − 1 = 0.
D = 4 + 4 = 8, e √8 = 2√2. x = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2, então x₁ ≈ 2,4142 e x₂ ≈ −0,4142.
Uma raiz dupla: x² − 4x + 4 = 0.
D = 16 − 16 = 0, então x = 4 / 2 = 2. Fatorada: (x − 2)².
Raízes complexas: x² + 2x + 5 = 0.
D = 4 − 20 = −16, e √(−16) = 4i. x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i. A parábola fica acima do eixo x; o vértice é (−1, 4).
O vértice
O vértice é o ponto de virada da parábola: h = −b / (2a) e k = c − b² / (4a). Para 2x² + 5x − 3 o vértice é (−5/4, −49/8) = (−1,25; −6,125). A reta x = h é o eixo de simetria: as duas raízes ficam à mesma distância dele, uma de cada lado.
Perguntas frequentes
O que é a fórmula quadrática?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Ela resolve toda equação da forma ax² + bx + c = 0, desde que a não seja 0.
E se a = 0?
Então não é uma equação do 2º grau. A equação é bx + c = 0, uma reta, e x = −c ÷ b. A calculadora mostra essa resposta e avisa.
O que são raízes complexas?
Quando o discriminante é negativo, não existe número real cujo quadrado seja negativo, então as raízes usam i, onde i² = −1. Elas sempre vêm em pares, como −1 + 2i e −1 − 2i.
Posso digitar frações ou decimais?
Pode. Digite 1/2, 0,5 ou −3. Os decimais viram números inteiros por dentro (0,5x² − 1,5x + 1 vira x² − 3x + 2), então a forma exata continua funcionando.
Por que não há forma fatorada?
A forma fatorada com números inteiros só existe quando as raízes são frações. x² − 2x − 1 tem raízes 1 ± √2, então não se fatora com números inteiros.
Ferramentas relacionadas
- Calculadora gráfica — desenhe qualquer função e ache suas raízes
- Calculadora de frações — some, subtraia e simplifique frações
- Calculadora do Teorema de Pitágoras — o terceiro lado de um triângulo retângulo
- Calculadora de MDC e MMC — fatores comuns, úteis para simplificar raízes
- Calculadora científica — potências e raízes quadradas
Como usar
- Digite a, b e c — a equação aparece acima das caixas
- Use o sinal de menos para números negativos e 0 para um termo que falta
- Leia as raízes na caixa de resultado, com a forma exata, o discriminante e o vértice
- Acompanhe os passos abaixo do formulário e veja o gráfico
- Ou toque em um exemplo para ver cada tipo de resposta
