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Über den Mitternachtsformel-Rechner
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0, wobei a nicht null ist. Ihre Lösungen (auch Nullstellen genannt) liefert die Mitternachtsformel:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Geben Sie a, b und c ein. Der Rechner geht die Formel Schritt für Schritt durch: die Diskriminante, die Wurzel, dann beide Lösungen. Er schreibt die Lösungen als exakte Brüche oder Wurzeln, wenn es geht (x = 1 ± √2), findet komplexe Lösungen, wenn es keine reellen gibt, und zeichnet die Parabel mit Nullstellen und Scheitelpunkt.
Funktionen
- Jeder Schritt — die Diskriminante, die Wurzel und beide Lösungen, mit Ihren Zahlen
- Exakte Form — Brüche (1/2), vereinfachte Wurzeln (1 ± √2) und komplexe Lösungen (−1 ± 2i)
- Reell oder komplex — die Diskriminante zeigt es, und der Rechner sagt es Ihnen
- Linearfaktorform — zum Beispiel (2x − 1)(x + 3), wenn die Lösungen Brüche sind
- Scheitelpunkt und Scheitelpunktform — der Wendepunkt der Parabel, die Symmetrieachse und y = a(x − h)² + k
- Ein Graph — die Parabel mit Nullstellen, Scheitelpunkt und Symmetrieachse
- Dezimalzahlen und Brüche erlaubt — geben Sie 0,5, 1/2 oder −3 ein
- Auf Ihrem Gerät gespeichert — Ihre Gleichung ist beim nächsten Mal noch da
Was die Diskriminante verrät
Die Diskriminante ist D = b² − 4ac, der Teil unter der Wurzel.
| D | Lösungen | Der Graph |
|---|---|---|
| D > 0 | zwei verschiedene reelle Lösungen | schneidet die x-Achse zweimal |
| D = 0 | eine doppelte Lösung | berührt die x-Achse einmal |
| D < 0 | keine reellen Lösungen, zwei komplexe Lösungen | erreicht die x-Achse nicht |
Ist D eine Quadratzahl (0, 1, 4, 9, 16 …) und sind a, b, c ganze Zahlen, sind die Lösungen Brüche, und die Gleichung lässt sich in Linearfaktoren zerlegen.
Beispiele
Zwei reelle Lösungen: 2x² + 5x − 3 = 0. a = 2, b = 5, c = −3.
D = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49. √49 = 7.
x = (−5 ± 7) / 4, also x₁ = 2/4 = 1/2 und x₂ = −12/4 = −3. Zerlegt: (2x − 1)(x + 3).
Lösungen mit Wurzel: x² − 2x − 1 = 0.
D = 4 + 4 = 8, und √8 = 2√2. x = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2, also x₁ ≈ 2,4142 und x₂ ≈ −0,4142.
Eine doppelte Lösung: x² − 4x + 4 = 0.
D = 16 − 16 = 0, also x = 4 / 2 = 2. Zerlegt: (x − 2)².
Komplexe Lösungen: x² + 2x + 5 = 0.
D = 4 − 20 = −16, und √(−16) = 4i. x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i. Die Parabel bleibt über der x-Achse; ihr Scheitelpunkt ist (−1, 4).
Der Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt der Parabel: h = −b / (2a) und k = c − b² / (4a). Für 2x² + 5x − 3 ist der Scheitelpunkt (−5/4, −49/8) = (−1,25, −6,125). Die Gerade x = h ist die Symmetrieachse: Die beiden Nullstellen liegen auf beiden Seiten im gleichen Abstand von ihr.
Häufige Fragen
Was ist die Mitternachtsformel?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Sie löst jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0, solange a nicht 0 ist.
Was ist, wenn a = 0?
Dann ist es keine quadratische Gleichung. Die Gleichung lautet bx + c = 0, eine Gerade, und x = −c ÷ b. Der Rechner zeigt dieses Ergebnis und weist darauf hin.
Was sind komplexe Lösungen?
Ist die Diskriminante negativ, gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist. Die Lösungen enthalten dann i, wobei i² = −1 gilt. Sie treten immer als Paar auf, zum Beispiel −1 + 2i und −1 − 2i.
Kann ich Brüche oder Dezimalzahlen eingeben?
Ja. Geben Sie 1/2, 0,5 oder −3 ein. Dezimalzahlen werden intern in ganze Zahlen umgewandelt (aus 0,5x² − 1,5x + 1 wird x² − 3x + 2), damit die exakte Form weiter funktioniert.
Warum gibt es keine Linearfaktorform?
Die Zerlegung mit ganzen Zahlen gibt es nur, wenn die Lösungen Brüche sind. x² − 2x − 1 hat die Lösungen 1 ± √2, lässt sich also nicht mit ganzen Zahlen zerlegen.
Weitere Rechner
- Grafikrechner — jede Funktion zeichnen und ihre Nullstellen finden
- Bruchrechner — Brüche addieren, subtrahieren und kürzen
- Satz des Pythagoras Rechner — die dritte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks
- ggT- und kgV-Rechner — gemeinsame Teiler, zum Vereinfachen von Wurzeln
- Wissenschaftlicher Taschenrechner — Potenzen und Wurzeln
So geht’s
- Geben Sie a, b und c ein — die Gleichung erscheint über den Feldern
- Verwenden Sie ein Minuszeichen für negative Zahlen und 0 für einen fehlenden Term
- Lesen Sie die Lösungen im Ergebnisfeld ab, mit exakter Form, Diskriminante und Scheitelpunkt
- Folgen Sie dem Rechenweg unter dem Formular und sehen Sie sich den Graphen an
- Oder tippen Sie auf ein Beispiel, um jede Art von Ergebnis zu sehen
