Calculadora de ecuaciones de segundo grado

Sobre la calculadora de ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0, con a distinto de cero. Sus soluciones (también llamadas raíces) salen de la fórmula cuadrática:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Escribe a, b y c. La calculadora recorre la fórmula paso a paso: el discriminante, la raíz cuadrada y después las dos raíces. Escribe las raíces como fracciones o raíces exactas cuando puede (x = 1 ± √2), halla raíces complejas cuando no hay reales y dibuja la parábola con sus raíces y su vértice.

Funciones

• Cada paso — el discriminante, la raíz cuadrada y las dos raíces, con tus números
• Forma exacta — fracciones (1/2), raíces simplificadas (1 ± √2) y raíces complejas (−1 ± 2i)
• Reales o complejas — el discriminante lo dice, y la calculadora te lo indica
• Forma factorizada — como (2x − 1)(x + 3), cuando las raíces son fracciones
• Vértice y forma canónica — el punto de giro, el eje de simetría y y = a(x − h)² + k
• Una gráfica — la parábola con sus raíces, su vértice y su eje de simetría
• Decimales y fracciones, sin problema — escribe 0,5, 1/2 o −3
• Guardado en tu dispositivo — tu ecuación sigue ahí la próxima vez

Lo que te dice el discriminante

El discriminante es D = b² − 4ac, la parte que va dentro de la raíz cuadrada.

Si D es un cuadrado perfecto (0, 1, 4, 9, 16 …) y a, b, c son números enteros, las raíces son fracciones y la ecuación se puede factorizar.

Ejemplos

Dos raíces reales: 2x² + 5x − 3 = 0. a = 2, b = 5, c = −3.

D = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49. √49 = 7.

x = (−5 ± 7) / 4, así que x₁ = 2/4 = 1/2 y x₂ = −12/4 = −3. Factorizada: (2x − 1)(x + 3).

Raíces con una raíz cuadrada: x² − 2x − 1 = 0.

D = 4 + 4 = 8, y √8 = 2√2. x = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2, así que x₁ ≈ 2,4142 y x₂ ≈ −0,4142.

Una raíz doble: x² − 4x + 4 = 0.

D = 16 − 16 = 0, así que x = 4 / 2 = 2. Factorizada: (x − 2)².

Raíces complejas: x² + 2x + 5 = 0.

D = 4 − 20 = −16, y √(−16) = 4i. x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i. La parábola queda por encima del eje x; su vértice es (−1, 4).

El vértice

El vértice es el punto de giro de la parábola: h = −b / (2a) y k = c − b² / (4a). Para 2x² + 5x − 3 el vértice es (−5/4, −49/8) = (−1,25; −6,125). La recta x = h es el eje de simetría: las dos raíces están a la misma distancia a cada lado.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la fórmula cuadrática?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Resuelve cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, siempre que a no sea 0.

¿Y si a = 0?

Entonces no es una ecuación de segundo grado. La ecuación es bx + c = 0, una recta, y x = −c ÷ b. La calculadora muestra esa respuesta y te lo avisa.

¿Qué son las raíces complejas?

Cuando el discriminante es negativo, no hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, así que las raíces usan i, donde i² = −1. Siempre vienen en pareja, como −1 + 2i y −1 − 2i.

¿Puedo escribir fracciones o decimales?

Sí. Escribe 1/2, 0,5 o −3. Los decimales se convierten por dentro en números enteros (0,5x² − 1,5x + 1 pasa a ser x² − 3x + 2), así que la forma exacta sigue funcionando.

¿Por qué no hay forma factorizada?

La forma factorizada con números enteros solo existe cuando las raíces son fracciones. x² − 2x − 1 tiene raíces 1 ± √2, así que no se factoriza con enteros.

Herramientas relacionadas

• Calculadora gráfica — dibuja cualquier función y halla sus raíces
• Calculadora de fracciones — suma, resta y simplifica fracciones
• Calculadora del teorema de Pitágoras — el tercer lado de un triángulo rectángulo
• Calculadora de MCD y mcm — factores comunes, útiles para simplificar raíces
• Calculadora científica — potencias y raíces cuadradas

Cómo se usa

• Escribe a, b y c — la ecuación aparece sobre las casillas
• Usa el signo menos para los números negativos y 0 para un término que falta
• Lee las raíces en el cuadro de resultado, con la forma exacta, el discriminante y el vértice
• Sigue los pasos bajo el formulario y mira la gráfica
• O toca un ejemplo para ver cada tipo de respuesta