근의 공식 계산기

근의 공식 계산기 소개

이차방정식은 ax² + bx + c = 0 꼴이며, a는 0이 아닙니다. 이 방정식의 해(근이라고도 합니다)는 근의 공식으로 구합니다.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

a, b, c를 입력하세요. 계산기가 공식을 단계별로 풀어 줍니다. 판별식, 제곱근, 그리고 두 근의 순서입니다. 가능하면 근을 정확한 분수나 근호로 나타내고(x = 1 ± √2), 실근이 없으면 허근을 구하며, 근과 꼭짓점이 표시된 포물선도 그려 줍니다.

기능

모든 단계 — 판별식, 제곱근, 두 근을 입력한 숫자로 보여 줌
정확한 형태 — 분수 (1/2), 간단히 한 근호 (1 ± √2), 허근 (−1 ± 2i)
실근인지 허근인지 — 판별식이 알려 주고, 계산기가 말해 줌
인수분해한 형태 — 근이 분수일 때 (2x − 1)(x + 3)처럼 표시
꼭짓점과 꼭짓점 형태 — 꼭짓점, 대칭축, y = a(x − h)² + k
그래프 — 근, 꼭짓점, 대칭축이 있는 포물선
소수와 분수도 가능 — 0.5, 1/2, −3을 입력할 수 있음
기기에 저장 — 다음에 열어도 방정식이 그대로 남아 있음

판별식이 알려 주는 것

판별식은 D = b² − 4ac이며, 제곱근 안에 들어가는 부분입니다.

D	근	그래프
D > 0	서로 다른 두 실근	x축과 두 번 만남
D = 0	중근 하나	x축에 한 번 닿음
D < 0	실근 없음, 두 허근	x축에 닿지 않음

D가 완전제곱수(0, 1, 4, 9, 16 …)이고 a, b, c가 정수이면, 근은 분수이고 방정식을 인수분해할 수 있습니다.

계산 예시

두 실근: 2x² + 5x − 3 = 0. a = 2, b = 5, c = −3.

D = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49. √49 = 7.

x = (−5 ± 7) / 4이므로 x₁ = 2/4 = 1/2, x₂ = −12/4 = −3입니다. 인수분해: (2x − 1)(x + 3).

근호가 있는 근: x² − 2x − 1 = 0.

D = 4 + 4 = 8이고 √8 = 2√2입니다. x = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2이므로 x₁ ≈ 2.4142, x₂ ≈ −0.4142입니다.

중근 하나: x² − 4x + 4 = 0.

D = 16 − 16 = 0이므로 x = 4 / 2 = 2입니다. 인수분해: (x − 2)².

허근: x² + 2x + 5 = 0.

D = 4 − 20 = −16이고 √(−16) = 4i입니다. x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i입니다. 포물선은 x축 위에 있고, 꼭짓점은 (−1, 4)입니다.

꼭짓점

꼭짓점은 포물선이 방향을 바꾸는 점입니다. h = −b / (2a), k = c − b² / (4a)입니다. 2x² + 5x − 3의 꼭짓점은 (−5/4, −49/8) = (−1.25, −6.125)입니다. 직선 x = h가 대칭축이며, 두 근은 대칭축에서 양쪽으로 같은 거리에 있습니다.

자주 묻는 질문

근의 공식이란 무엇인가요?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)입니다. a가 0이 아니면 ax² + bx + c = 0 꼴의 모든 방정식을 풀 수 있습니다.

a = 0이면 어떻게 되나요?

이차방정식이 아닙니다. 방정식은 bx + c = 0, 즉 직선이고 x = −c ÷ b입니다. 계산기가 그 답을 보여 주고 알려 드립니다.

허근이란 무엇인가요?

판별식이 음수이면 제곱해서 음수가 되는 실수는 없으므로, 근에 i(i² = −1)를 씁니다. 허근은 −1 + 2i와 −1 − 2i처럼 항상 짝으로 나타납니다.

분수나 소수를 입력해도 되나요?

네. 1/2, 0.5, −3처럼 입력하세요. 소수는 내부에서 정수로 바뀌므로(0.5x² − 1.5x + 1은 x² − 3x + 2가 됩니다) 정확한 형태도 그대로 쓸 수 있습니다.

인수분해한 형태가 없는 이유는?

정수로 하는 인수분해는 근이 분수일 때만 있습니다. x² − 2x − 1의 근은 1 ± √2이므로 정수로는 인수분해되지 않습니다.

사용 방법

a, b, c를 입력하세요 — 방정식이 입력칸 위에 나타납니다
음수는 마이너스 기호로, 없는 항은 0으로 입력하세요
결과 상자에서 근을 확인하세요. 정확한 형태, 판별식, 꼭짓점도 함께 나옵니다
폼 아래의 풀이 단계를 따라가며 그래프를 보세요
또는 예시를 눌러 각 유형의 답을 확인해 보세요