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À propos de la calculatrice d’équation du second degré
Une équation du second degré a la forme ax² + bx + c = 0, avec a différent de zéro. Ses solutions (appelées aussi racines) viennent de la formule quadratique :
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Saisissez a, b et c. La calculatrice déroule la formule étape par étape : le discriminant, la racine carrée, puis les deux racines. Elle écrit les racines sous forme de fractions ou de racines exactes quand c’est possible (x = 1 ± √2), trouve les racines complexes quand il n’y en a pas de réelles, et trace la parabole avec ses racines et son sommet.
Fonctions
- Chaque étape — le discriminant, la racine carrée et les deux racines, avec vos nombres
- Forme exacte — fractions (1/2), racines simplifiées (1 ± √2) et racines complexes (−1 ± 2i)
- Réelles ou complexes — le discriminant le dit, et la calculatrice l’indique
- Forme factorisée — comme (2x − 1)(x + 3), quand les racines sont des fractions
- Sommet et forme canonique — le point de retournement, l’axe de symétrie et y = a(x − h)² + k
- Un graphe — la parabole avec ses racines, son sommet et son axe de symétrie
- Décimaux et fractions acceptés — saisissez 0,5, 1/2 ou −3
- Enregistré sur votre appareil — votre équation est encore là la prochaine fois
Ce que dit le discriminant
Le discriminant est D = b² − 4ac, la partie sous la racine carrée.
| D | Racines | Le graphe |
|---|---|---|
| D > 0 | deux racines réelles distinctes | coupe l’axe des x deux fois |
| D = 0 | une racine double | touche l’axe des x une fois |
| D < 0 | pas de racine réelle, deux racines complexes | n’atteint pas l’axe des x |
Si D est un carré parfait (0, 1, 4, 9, 16 …) et que a, b, c sont des entiers, les racines sont des fractions et l’équation peut se factoriser.
Exemples
Deux racines réelles : 2x² + 5x − 3 = 0. a = 2, b = 5, c = −3.
D = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49. √49 = 7.
x = (−5 ± 7) / 4, donc x₁ = 2/4 = 1/2 et x₂ = −12/4 = −3. Factorisée : (2x − 1)(x + 3).
Des racines avec une racine carrée : x² − 2x − 1 = 0.
D = 4 + 4 = 8, et √8 = 2√2. x = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2, donc x₁ ≈ 2,4142 et x₂ ≈ −0,4142.
Une racine double : x² − 4x + 4 = 0.
D = 16 − 16 = 0, donc x = 4 / 2 = 2. Factorisée : (x − 2)².
Racines complexes : x² + 2x + 5 = 0.
D = 4 − 20 = −16, et √(−16) = 4i. x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i. La parabole reste au-dessus de l’axe des x ; son sommet est (−1, 4).
Le sommet
Le sommet est le point de retournement de la parabole : h = −b / (2a) et k = c − b² / (4a). Pour 2x² + 5x − 3, le sommet est (−5/4, −49/8) = (−1,25 ; −6,125). La droite x = h est l’axe de symétrie : les deux racines sont à la même distance de chaque côté.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la formule quadratique ?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Elle résout toute équation de la forme ax² + bx + c = 0, tant que a n’est pas 0.
Et si a = 0 ?
Alors ce n’est pas une équation du second degré. L’équation est bx + c = 0, une droite, et x = −c ÷ b. La calculatrice affiche cette réponse et l’indique.
Que sont les racines complexes ?
Quand le discriminant est négatif, aucun nombre réel n’a un carré négatif, donc les racines utilisent i, avec i² = −1. Elles vont toujours par paires, comme −1 + 2i et −1 − 2i.
Puis-je saisir des fractions ou des décimaux ?
Oui. Saisissez 1/2, 0,5 ou −3. Les décimaux sont transformés en nombres entiers en interne (0,5x² − 1,5x + 1 devient x² − 3x + 2), pour que la forme exacte fonctionne toujours.
Pourquoi n’y a-t-il pas de forme factorisée ?
La forme factorisée avec des nombres entiers n’existe que si les racines sont des fractions. x² − 2x − 1 a pour racines 1 ± √2, elle ne se factorise donc pas avec des entiers.
Outils associés
- Calculatrice graphique — tracez n’importe quelle fonction et trouvez ses racines
- Calculatrice de fractions — additionnez, soustrayez et simplifiez des fractions
- Calculatrice du théorème de Pythagore — le troisième côté d’un triangle rectangle
- Calculatrice PGCD et PPCM — diviseurs communs, utiles pour simplifier les racines
- Calculatrice scientifique — puissances et racines carrées
Comment l’utiliser
- Saisissez a, b et c — l’équation s’affiche au-dessus des cases
- Utilisez un signe moins pour les nombres négatifs, et 0 pour un terme absent
- Lisez les racines dans la zone de résultat, avec la forme exacte, le discriminant et le sommet
- Suivez les étapes sous le formulaire et regardez le graphe
- Ou touchez un exemple pour voir chaque type de réponse
