Calcolatrice equazioni di secondo grado

Informazioni sulla calcolatrice per equazioni di secondo grado

Un’equazione di secondo grado ha la forma ax² + bx + c = 0, con a diverso da zero. Le sue soluzioni (dette anche radici) si ottengono con la formula quadratica:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Scrivi a, b e c. La calcolatrice svolge la formula passo dopo passo: il discriminante, la radice quadrata, poi le due radici. Scrive le radici come frazioni o radici esatte quando può (x = 1 ± √2), trova le radici complesse quando non ce ne sono di reali e disegna la parabola con le sue radici e il suo vertice.

Funzioni

• Ogni passaggio — il discriminante, la radice quadrata e le due radici, con i tuoi numeri
• Forma esatta — frazioni (1/2), radici semplificate (1 ± √2) e radici complesse (−1 ± 2i)
• Reali o complesse — il discriminante lo dice, e la calcolatrice te lo indica
• Forma fattorizzata — come (2x − 1)(x + 3), quando le radici sono frazioni
• Vertice e forma con il vertice — il punto di svolta, l’asse di simmetria e y = a(x − h)² + k
• Un grafico — la parabola con le sue radici, il vertice e l’asse di simmetria
• Decimali e frazioni benvenuti — scrivi 0,5, 1/2 o −3
• Salvato sul tuo dispositivo — la tua equazione c’è ancora la prossima volta

Cosa ti dice il discriminante

Il discriminante è D = b² − 4ac, la parte sotto la radice quadrata.

Se D è un quadrato perfetto (0, 1, 4, 9, 16 …) e a, b, c sono numeri interi, le radici sono frazioni e l’equazione si può scomporre.

Esempi

Due radici reali: 2x² + 5x − 3 = 0. a = 2, b = 5, c = −3.

D = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49. √49 = 7.

x = (−5 ± 7) / 4, quindi x₁ = 2/4 = 1/2 e x₂ = −12/4 = −3. Fattorizzata: (2x − 1)(x + 3).

Radici con una radice quadrata: x² − 2x − 1 = 0.

D = 4 + 4 = 8, e √8 = 2√2. x = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2, quindi x₁ ≈ 2,4142 e x₂ ≈ −0,4142.

Una radice doppia: x² − 4x + 4 = 0.

D = 16 − 16 = 0, quindi x = 4 / 2 = 2. Fattorizzata: (x − 2)².

Radici complesse: x² + 2x + 5 = 0.

D = 4 − 20 = −16, e √(−16) = 4i. x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i. La parabola resta sopra l’asse x; il suo vertice è (−1, 4).

Il vertice

Il vertice è il punto di svolta della parabola: h = −b / (2a) e k = c − b² / (4a). Per 2x² + 5x − 3 il vertice è (−5/4, −49/8) = (−1,25; −6,125). La retta x = h è l’asse di simmetria: le due radici stanno alla stessa distanza da essa, una per lato.

Domande frequenti

Cos’è la formula quadratica?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Risolve ogni equazione della forma ax² + bx + c = 0, purché a non sia 0.

E se a = 0?

Allora non è un’equazione di secondo grado. L’equazione è bx + c = 0, una retta, e x = −c ÷ b. La calcolatrice mostra questa risposta e te lo segnala.

Cosa sono le radici complesse?

Quando il discriminante è negativo, non esiste un numero reale il cui quadrato sia negativo, quindi le radici usano i, dove i² = −1. Vengono sempre in coppia, come −1 + 2i e −1 − 2i.

Posso scrivere frazioni o decimali?

Sì. Scrivi 1/2, 0,5 o −3. I decimali vengono trasformati internamente in numeri interi (0,5x² − 1,5x + 1 diventa x² − 3x + 2), così la forma esatta funziona ancora.

Perché non c’è la forma fattorizzata?

La forma fattorizzata con numeri interi esiste solo quando le radici sono frazioni. x² − 2x − 1 ha radici 1 ± √2, quindi non si scompone con numeri interi.

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Come si usa

• Scrivi a, b e c — l’equazione appare sopra le caselle
• Usa il segno meno per i numeri negativi e 0 per un termine mancante
• Leggi le radici nella casella del risultato, con la forma esatta, il discriminante e il vertice
• Segui i passaggi sotto il modulo e guarda il grafico
• Oppure tocca un esempio per vedere ogni tipo di risposta