二次方程式の解の公式計算ツール

二次方程式の解の公式計算ツールについて

二次方程式は ax² + bx + c = 0（a は 0 ではない）の形をしています。その解は、次の解の公式で求められます。

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

a、b、c を入力してください。このツールは公式を一歩ずつ計算します。判別式、平方根、そして2つの解の順です。できるときは解を正確な分数や根号で表し（x = 1 ± √2）、実数解がないときは虚数解を求め、解と頂点つきの放物線も描きます。

主な機能

すべての途中式 — 判別式、平方根、2つの解を、入力した数字で表示
正確な形 — 分数 (1/2)、簡単にした根号 (1 ± √2)、虚数解 (−1 ± 2i)
実数解か虚数解か — 判別式で判断し、ツールがお知らせします
因数分解した形 — 解が分数のとき、(2x − 1)(x + 3) のように表示
頂点と頂点形 — 頂点、軸、y = a(x − h)² + k
グラフ — 解・頂点・軸つきの放物線
小数や分数もOK — 0.5、1/2、−3 と入力できます
端末に保存 — 次に開いたときも方程式がそのまま残ります

判別式でわかること

判別式は D = b² − 4ac で、平方根の中の部分です。

D	解	グラフ
D > 0	異なる2つの実数解	x 軸と2点で交わる
D = 0	重解（1つ）	x 軸に1点で接する
D < 0	実数解なし、2つの虚数解	x 軸に届かない

D が平方数（0、1、4、9、16 …）で、a、b、c が整数なら、解は分数になり、方程式は因数分解できます。

計算例

2つの実数解：2x² + 5x − 3 = 0。 a = 2、b = 5、c = −3。

D = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49。√49 = 7。

x = (−5 ± 7) / 4 なので、x₁ = 2/4 = 1/2、x₂ = −12/4 = −3。因数分解：(2x − 1)(x + 3)。

根号を含む解：x² − 2x − 1 = 0。

D = 4 + 4 = 8、√8 = 2√2。x = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2 なので、x₁ ≈ 2.4142、x₂ ≈ −0.4142。

重解：x² − 4x + 4 = 0。

D = 16 − 16 = 0 なので、x = 4 / 2 = 2。因数分解：(x − 2)²。

虚数解：x² + 2x + 5 = 0。

D = 4 − 20 = −16、√(−16) = 4i。x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i。放物線は x 軸の上にあり、頂点は (−1, 4) です。

頂点

頂点は放物線の折り返し点で、h = −b / (2a)、k = c − b² / (4a) です。2x² + 5x − 3 の頂点は (−5/4, −49/8) = (−1.25, −6.125) です。直線 x = h が軸で、2つの解は軸から左右に同じ距離にあります。

よくある質問

解の公式とは何ですか？

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) です。a が 0 でなければ、ax² + bx + c = 0 の形のどんな方程式も解けます。

a = 0 のときは？

二次方程式ではなくなります。方程式は bx + c = 0（直線）で、x = −c ÷ b です。ツールがその答えを表示し、お知らせします。

虚数解とは何ですか？

判別式が負のとき、2乗して負になる実数はないので、解には i（i² = −1）を使います。−1 + 2i と −1 − 2i のように、必ずペアで現れます。

分数や小数も入力できますか？

はい。1/2、0.5、−3 のように入力できます。小数は内部で整数に直されるので（0.5x² − 1.5x + 1 は x² − 3x + 2 になります）、正確な形も使えます。

因数分解した形が出ないのはなぜ？

整数での因数分解は、解が分数のときだけできます。x² − 2x − 1 の解は 1 ± √2 なので、整数では因数分解できません。

使い方

a、b、c を入力します — 方程式が入力欄の上に表示されます
負の数にはマイナス記号を、ない項には 0 を入力します
結果ボックスで解を確認します。正確な形、判別式、頂点も表示されます
フォームの下の途中式とグラフを見ます
または例をタップして、それぞれのタイプの答えを見ることもできます